El K-ratio en apuestas deportivas

Dos alpinistas emprendieron el mismo día su proyecto de culminación de la cumbre del K2. Toman caminos distintos, basándose en su experiencia y conocimiento del terreno. Pasados unos días se encuentran en un punto a mitad de camino. La prensa hace fotografías y publica su hazaña, aunque únicamente los propios alpinistas saben lo que han tenido que pasar para haber llegado hasta aquí. Lo que la prensa desconoce es que el camino de uno ha sido mucho más tortuoso que el del otro. Queda todavía mucho recorrido para coronar, y de nuevo cada uno de los dos alpinistas escogerá que senda quiere seguir. Gracias a la tecnología GPS, disponemos de la altimetría del recorrido de ambos alpinistas hasta llegar a este punto. Efectivamente comprobamos que uno de ellos ha ascendido siguiendo una trayectoria mucho más abrupta, con reiteradas subidas y bajadas, algunas de ellas realmente pronunciadas, muy exigente y peligrosa. Si nos uniéramos a la marcha y tuviésemos que elegir a cuál de los dos alpinistas seguir hasta la cima, lo más seguro (a menos que nos vaya demasiado el Rock&Roll) es que escogeríamos a aquel que menor riesgo ha corrido para llegar al punto de encuentro, dado que ha demostrado tener una estrategia de subida más eficiente.  

Llevándolo al terreno de las apuestas deportivas, un error muy frecuente a la hora de elegir a que tipster seguir es fijarse tan solo en el beneficio y yield acumulados (análogo a la fotografía que hace la prensa de los dos alpinistas en el punto de encuentro de ambos) sin detenerse a analizar la trayectoria del camino recorrido para su consecución.

Sin embargo, no cabe duda que todos deseamos obtener la mayor rentabilidad sin sufrir sobresaltos, o lo que es lo mismo, ganar el máximo incurriendo en el mínimo riesgo.

>  Midiendo el riesgo

En análisis de inversiones (no debemos olvidar que las apuestas deportivas lo son) existen varios tipos de índices para evaluar el binomio antagónico rendimiento vs riesgo. Uno de los más empleados es el ratio de Sharpe (Sharpe, 1994), creado por el Premio Nobel William Sharpe de la Universidad Stanford. El ratio de Sharpe expresa la rentabilidad obtenida en función del riesgo.

La volatilidad, que suele cuantificarse de forma sencilla mediante la desviación estándar, es una forma común de medir dicho riesgo. En evaluación de pronosticadores, una volatilidad elevada nos indica que el riesgo que ha incurrido el tipster en la selección de sus picks ha sido alto.

No obstante, el ratio de Sharpe presenta algunas limitaciones que han promovido el uso de otros índices alternativos. Uno de ellos, y en el que voy a centrar las próximas líneas, es el K-ratio, creado por Lars Kestner. En el K-ratio la rentabilidad está representada por la pendiente de la regresión lineal, y el riesgo está simbolizado por el error estándar de la regresión. El K-ratio permite medir que tan consistentes son los resultados de una estrategia de un tipster. Será más alto cuando mayor sea la rentabilidad y menor sea la desviación de los resultados.

El cálculo del K-ratio es relativamente sencillo. Su fórmula de 2003, presente en el libro “Quantitative Trading Strategies” (Kestner, 2003), se define a partir de la siguiente expresión:

K-ratio = MBA / (SRE * NB)

MBA : Pendiente de la recta de regresión del beneficio acumulado
SRE : Error estándar de la regresión del beneficio acumulado
NB : Número de bloques (periodos) en que se divide el registro de datos

El numerador del K-ratio expresa la pendiente de la recta de regresión del beneficio acumulado (MBA). Valores elevados de MBA indican un incremento más pronunciado del beneficio acumulado. El riesgo se calcula utilizando el error estándar de la regresión (SRE), es decir, el grado en que los datos se desvían de la recta de regresión. Valores más elevados del SRE indican un rendimiento inconsistente mientras que un SRE bajo indica un rendimiento más consistente. El denominador incluye adicionalmente el número de periodos o bloques (NB) en el que se divide el registro de datos analizado. El NB tiene una notable significancia, que desarrollo más en profundidad en el siguiente apartado.

>  Importancia del número de bloques NB

En Economía, el término consistencia alude a la “uniformidad continua de un periodo a otro en los métodos de contabilidad”. En apuestas deportivas, dichos periodos pueden equipararse a series temporales (meses, años, temporadas) o a un determinado número de pronósticos. En este último caso, cada X pronósticos se completaría un bloque. Si el objetivo es utilizar el K-ratio para comparar tipsters, la división por bloque de picks sería lo apropiado*. Veamos a continuación como influye el tamaño del número de bloques (NB) en el K-ratio.

Dada una muestra de N picks, el valor del K-ratio crece logarítmicamente en la medida en que el tamaño del parámetro NB aumenta. Esto se debe a que la consistencia del rendimiento tiende a estabilizarse cuanto mayor sea el tamaño de los bloques debido a que el efecto de la varianza tiende a desvanecerse. Consideremoslo numéricamente: si por ejemplo disponemos de un registro de 10.000 picks de un tipster y los agrupamos cronológicamente en bloques, el valor resultante del K-ratio será superior en el caso de disponer bloques del 10% de los picks (1.000 picks por bloque) respecto a bloques del 1% (100 picks por bloque).

>  Empleo del K-ratio como índice comparador de tipsters

A continuación veremos cómo sería el outcome de aplicar el K-ratio como índice comparador de tipsters. Para ello vamos a suponer un caso en el que disponemos del registro histórico de las apuestas de 5 tipsters.

Parámetros del análisis:

  • Tamaño de muestra (N) = 5000 picks cada tipster
  • Rango de cuotas empleado = 1.50-2.50, distribuidos aleatoriamente, con cuota promedio 2.00 para los 5 tipsters
  • Stake Plano = 1 unidad por pick
  • Número de bloques (NB) = 10, con tamaño de 500 picks por bloque, equivalente al 10% del registro de picks N

Lanzamos una única simulación donde los resultados (W/L) de cada apuesta han sido determinados de forma aleatoria. Dado que el propósito es argumentar analíticamente los resultados, no es preciso correr más simulaciones.

Graficamos la curva del beneficio acumulado de los 5 tipsters (ver imagen inferior).

acc_profit k-ratio

La siguiente tabla recoge los valores obtenidos para distintas variables:

table1

En primer lugar puede llamar la atención que, aunque habiendo mínima diferencia en términos de Yield y Beneficio acumulado entre los tipsters T1 y T2, el valor del K-ratio obtenido para el tipster T2 sea más del doble. No obstante, puede observarse que la curva del beneficio acumulado del tipster T1 presenta mayores oscilaciones (coeficiente de regresión lineal T1 = 81.22%), así como una mayor caída máxima (Drawdown máximo T1 = 46 unidades; Drawdown máximo T2 = 37 unidades).

Por otro lado es llamativo el elevado valor del K-ratio obtenido para el tipster T5 (K-ratio T5 = 3.21), en comparación al resto. Sin embargo, además de tratarse del tipster que mejor rendimiento ha conseguido en los 5000 picks, al observar la trayectoria de la curva del beneficio acumulado claramente se percibe una progresión ascendente con cierta linealidad (coeficiente de regresión lineal T5 = 98.77%).

Este último detalle nos invita a llevar el análisis un poco más allá. En vista de los resultados que nos arroja la simulación, uno podría pensar que el K-ratio es proporcional precisamente al coeficiente de regresión lineal de la curva del beneficio acumulado, y que directamente calculando el coeficiente R2 ya tendríamos medida la consistencia del rendimiento del tipster. De entrada no parece una hipótesis descabellada (lo es si alguien se detiene a revisar al detalle la ecuación del K-ratio), pero vamos a ver como en efecto ambos parámetros tienen cierta correlación pero son independientes. Tomando el análisis de los 5 tipsters, el siguiente gráfico nos representa la correlación entre el coeficiente R2 de la curva del beneficio acumulado de cada uno de los tipsters y el K-ratio obtenido.

R2 K-ratio

La invalidación de la hipótesis anterior podría fácilmente efectuarse numéricamente, pero sencillamente revisando el gráfico se observa que los datos siguen una distribución semi-exponencial, pero la dispersión de los mismos rechaza la hipótesis planteada.

>  Evolución del K-ratio a lo largo del registro

Propongo ahora centrarnos solamente en los tipsters T4 y T5 para estudiar cómo evoluciona el K-ratio de ambos a lo largo del registro de picks. Volviendo al gráfico de beneficio acumulado de los 5 tipsters analizados, puede observarse como, a pesar de que el beneficio acumulado del tipster T5 tras los 5000 picks fue superior al del tipster T4, en determinados tramos éste último rindió mejor que el primero.

Esta situación nos conduce al examen de la evolución del K-ratio (ver gráfico inferior) a lo largo del registro de picks (siguiendo con la división de 10 bloques) de ambos tipsters, con el fin de analizar más al detalle el comportamiento de dicho indicador con respecto a la curva del beneficio acumulado.

k-ratio

El gráfico anterior se trata del reflejo del gráfico de beneficio acumulado, tomando bloques del 10% de NPicks, tras la integración del K-ratio. Destacan los siguientes paralelismos:

  • El tipster T5 pasa de ser poco consistente, alcanzando inclusive valores negativos al comienzo, a muy consistente al final del registro, con valores del K-ratio superiores a 3. Es notorio un periodo comprendido entre el primer gran valle (aproximadamente en el pick n.100) y el primer gran pico (próximo al pick n.1000) donde el crecimiento del K-ratio es muy pronunciado, llegando a valores muy cercanos a 3. Si revisamos en paralelo la curva del beneficio acumulado, este periodo se enmarca en un rango de picks en el que el beneficio crece de manera sostenida y con marcada pendiente. A partir de ese punto la pendiente se suaviza ligeramente provocando consecuentemente una caída en la curva de evolución del K-ratio. Seguidamente se alterna un largo periodo de beneficios con la ocurrencia de oscilaciones relativamente marcadas, provocando un leve ascenso del K-ratio. A partir del pick n.4000 el K-ratio aumenta notablemente de valor debido principalmente a la escasa volatilidad de la curva de beneficio acumulado en el tramo final.
  • De manera opuesta sucede con el tipster T4. Tras un periodo inicial próximo al pick n.1000, puede observarse un beneficio acumulado cuya pendiente es significativamente baja, motivo principal por el que la curva de evolución del K-ratio decrece. A partir de ese punto sin embargo enlaza con un periodo muy constante de ganancias, que encuentra su análogo en el gráfico de evolución del K-profit, donde el valor crece progresivamente hasta superar el umbral de 2.00. Finalmente, la consistencia en los resultados del tipster T4 decrece en el último tramo de su historial, donde claramente se observa que el yield (beneficio obtenido sobre NPicks, dado que se trata de stake plano 1, en dicho periodo) decrece.

>  Conclusiones

El K-ratio es una medida de rendimiento que mide la consistencia de la rentabilidad de una estrategia y cuyo uso nos acercará a una certera elección.

Un potencial seguidor/suscriptor de un tipster debe perseguir el seguimiento de un sistema que incremente el beneficio de manera lineal y con la menor desviación posible. En ese sentido, el K-ratio penaliza tanto la volatilidad hacia arriba como a la baja, así como variaciones, en magnitud y en frecuencia, en la pendiente del beneficio acumulado a lo largo del tiempo.

El valor absoluto del K-ratio es realmente de poco interés, salvo que queremos que éste sea positivo y cuanto más elevado mejor. El potencial aprovechamiento del K-ratio radica justamente en la capacidad que ofrece para comparar la consistencia del rendimiento acreditado por tipsters, para lo cual resulta necesario dividir el registro histórico en bloques del mismo tamaño.

Se trata pues de un indicador que conviene incluir y tener muy en cuenta en análisis de pronosticadores, máxime cuando el objetivo es valorar la rentabilidad en función del riesgo que estamos dispuestos a asumir.

>  Referencias

Kestner, L., 2003. Quantitative Trading Strategies, Irwin Trader’s Edge Series. doi:10.1002/nbm.1760

Sharpe, W.F., 1994. The Sharpe Ratio. J. Portf. Manag. 21, 49–58. doi:10.3905/jpm.1994.409501

*Agradezco a @Betting_green su observación con respecto a que resulta fundamental para comparar series es que tengan la misma base , particularmente en análisis de riesgo.

José Osorio (@tipstuni) | 16.04.2017

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